개념 지도
6쌍의 핵심 공식 — 양방향으로 읽기
자주 하는 4가지 실수
$(a+b)^2$ 의 중간 $2ab$
합의 제곱은 항상 세 항 — 첫째 제곱, 중간 $2ab$, 마지막 제곱.
$a^2 + b^2$ 는 인수분해 불가
실수 범위에서 두 양수의 합의 제곱은 인수분해되지 않는다. 차의 제곱만 가능.
먼저 공통인수부터 빼라
인수분해의 첫 단계는 항상 공통인수 확인. 그 뒤에 공식을 적용한다.
$x^4-16$ 을 한 번에 멈춤
"더 이상 분해할 수 없을 때까지" 진행. $(x^2-4)$ 는 차의 제곱이므로 한 번 더.
대수학의 발자취 — 8개의 순간
바빌로니아 — 점토판 위의 이차식
점토판에 새겨진 토지 문제들 — 사실상의 이차방정식. 곱과 합으로 두 수 찾기 문제가 이미 등장.
디오판토스 — 미지수의 기호화
알렉산드리아의 디오판토스가 『산학(Arithmetica)』에서 미지수를 문자로 표현. 다항식의 기원.
알콰리즈미 — "al-jabr"의 탄생
"흩어진 것을 모으다(al-jabr)" — 식의 변형을 체계화한 최초의 학자. algebra(대수)의 어원.
카르다노 — 삼차방정식 풀이
이차방정식을 넘어, 삼차·사차 방정식까지 — 인수분해의 한계를 넘는 새로운 방법 등장.
비에트 — 기호 대수의 완성
모음(미지수)·자음(상수)로 식을 표현, 곱셈공식이 일반화. 현대 대수의 기반.
데카르트 — 좌표평면과 대수
$(x,y)$ 좌표로 도형을 식으로, 식을 도형으로. 다항식이 곧 곡선의 언어가 됨.
갈루아 — 군과 인수분해의 한계
5차 이상 방정식의 일반 해의 부재를 증명. 인수분해의 깊이와 한계를 모두 드러냄.
모든 수학의 기초 언어
다항식 곱셈과 인수분해는 미적분·선형대수·정수론에 이르기까지 — 모든 수학의 공용어.
핵심 용어 10
단항식들의 합과 차로 이루어진 식. $3x^2 - 5x + 2$ 같은 형태.
곱의 형태로 표현된 식을 풀어 합의 형태로 만드는 것.
$a(b+c) = ab+ac$ — 모든 다항식 곱셈의 토대.
자주 사용되는 곱셈 결과를 외우기 쉽게 정리한 항등식.
$(a\pm b)^2$ 의 꼴로 정리되는 삼항식.
두 식의 곱으로 표현될 때, 곱해진 각각의 식.
다항식을 두 인수 이상의 곱으로 표현하는 것.
다항식의 모든 항에 공통으로 들어 있는 인수.
$acx^2 + (ad+bc)x + bd$ 형 인수분해를 위한 대각선 시도 기법.
반복되는 식을 한 문자로 두어 단순화하는 기법.
대단원 학습 체크리스트
다음 10가지를 모두 체크할 수 있다면, 다음 단원(이차방정식)으로 나아가도 좋다.
2022 개정 교육과정 성취기준
다항식의 곱셈과 곱셈공식
다항식의 곱셈을 이해하고, 곱셈공식을 활용해 식을 전개하며 수치 계산에 적용할 수 있다.
인수분해의 뜻과 기법
인수분해의 의미를 알고, 다양한 인수분해 공식을 이용해 다항식을 인수의 곱으로 나타낼 수 있다.
Ⅱ단원 완료
알콰리즈미가 "흩어진 것을 모으다"고 명명한 그 행위 — 그것이 바로 인수분해이고, 그 반대가 곱셈이다. 이제 너의 손에서 다항식은 자유롭게 펼쳐지고, 자유롭게 묶인다. 다음 단원에서 이 무기를 들고 이차방정식의 세계로 나아간다.